空间向量发展史

摘要:简述从複数引起「空间数」的想像,汉弥尔顿之「四元数」最接近成功地实现了这个想像,但是它太複杂而被简化成空间向量。

从複数平面我们看到複数具有平面向量的本质,而複数的极式则导出了平面向量的内积公式和二阶行列式的意义。複数使得平面上的点变得像实数,而实数对应数线上的点。如果把实数想像为直线数,则複数就像平面数。很自然地,数学家想要找到更高一个维度的数:「空间数」。

后人在高斯遗留的手稿中发现他在 1819 年尝试过 $$a+b\textbf{i}+c\textbf{j}$$ 形式的「空间数」,其中的 $$a+b\textbf{i}$$ 就是複数。但是并不成功也就没有发表。

据汉弥尔顿(William Hamilton, 1805-1865)的自述,这个问题大约从 1828 年起成为他「智识上的渴望」(an intellectual want),直到十五年后的1843年10月16日,在一次「触电似」的神奇经验中顿悟了三项不够而需要四项的「空间数」:$$u+a\textbf{i}+b\textbf{j}+c\textbf{k}$$,称为四元数(quaternion),其中 $$u$$ 称为纯量部分,$$a\textbf{i}+b\textbf{j}+c\textbf{k}$$ 称为向量部分;$$\textbf{i}$$、$$\textbf{j}$$、$$\textbf{k}$$ 扮演像複数中的虚数单位 $$i$$ 那样的角色,称为生成元素,而 $$u$$、$$a$$、$$b$$、$$c$$ 都是实数。顺便一提,1843 年是中英〈南京条约〉生效的第一年,英国佔领香港。

就像複数一样,两个四元数 $$p=u+a\textbf{i}+b\textbf{j}+c\textbf{k}$$ 和 $$q=v+x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k}$$ 相等的意义是$$u=v$$、$$a=x$$、$$b=y$$、$$c=z$$。四元数的加或减就是对应係数的加或减,也就是 $$p\pm{q}=(u\pm{v})+(a\pm{x})\textbf{i}+(b\pm{y})\textbf{j}+(c\pm{z})\textbf{k}$$,可见四元数的加法具备实数或複数加法的性质:结合律与交换律。

至于乘法,汉弥尔顿直接规定四元数的乘法对加法满足分配律,所以只要规定生成元素之间的乘法规则,就能做四元数的乘法。这些规则是:$$\textbf{i}^2=-1$$、$$\textbf{j}^2=-1$$、$$\textbf{k}^2=-1$$、$$\textbf{ij}=\textbf{k}$$、$$\textbf{jk}=\textbf{i}$$、$$\textbf{ki}=\textbf{j}$$、$$\textbf{ji}=-\textbf{k}$$、$$\textbf{kj}=-\textbf{i}$$、$$\textbf{ik}=-\textbf{j}$$。根据以上游戏规则,读者不妨尝试一个简单的例子:

$$\begin{array}{ll}(3+2\textbf{i})(7\textbf{i}-5\textbf{k})&=3(7\textbf{i}-5\textbf{k})+2\textbf{i}(7\textbf{i}-5\textbf{k})\\&=21\textbf{i}-15\textbf{k}+14\textbf{i}^2-10\textbf{ik}\\&=-14+21\textbf{i}+10\textbf{j}-15\textbf{k}\end{array}$$

一般而言,四元数 $$p$$ 和 $$q$$ 相乘的结果如下:

$$pq=(uv-ax-by-cz)$$

$$+(ux+va+bz-cy)\textbf{i}+(uy+vb+cx-az)\textbf{j}+(uz+vc+ay-bx)\textbf{k}$$

汉弥尔顿也定义像共轭複数一样的「共轭」四元数:$$\overline{p}=u-a\textbf{i}-b\textbf{j}-c\textbf{k}$$,
则 $$p\overline{p}=u^2+a^2+b^2+c^2=|p^2|$$,因为 $$(p\overline{p})/(u^2+a^2+b^2+c^2)=1$$,
于是产生 $$p$$ 的倒数

$$\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{\overline{p}}{|p|^2}$$

再规定 $$q\div{p}=q(\frac{1}{p})$$ 就得到了四元数的除法;当然,除数还是不得为 $$0$$,而这样定义的除法自然满足乘除互逆的性质。

四元数与实数和複数都「相容」。当 $$a=b=c=0$$,也就是向量部分为零,则 $$p$$ 就是实数。当 $$b=c=0$$,则 $$p$$ 就是複数。而且,当四元数「退化」成实数或複数的时候,它们的加减乘除计算就像实数或複数一样。

唯一「遗憾」的是:四元数的乘法不具有交换律。这可以从生成元素的乘法规则看出来,例如 $$\textbf{ij}=\textbf{k}$$ 但是 $$\textbf{ji}=-\textbf{k}$$。当 $$u=v=0$$,也就是 $$p$$ 和 $$q$$ 都只有向量部分,则

$$pq=-(ax+by+cz)+(bz-cy)\textbf{i}+(cx-az)\textbf{j}+(ay-bx)\textbf{k}$$

可见 $$pq$$ 的纯量部分是两向量之内积的相反数,而 $$pq$$ 的向量部分是两向量的外积。而外积是不可交换的,它具有「逆交换性」:$$\vec{u}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{u})$$。

所以,当 $$p$$ 和 $$q$$ 都只有向量部分,则 $$pq$$ 和 $$qp$$ 互为共轭四元数,通常并不相等;至于 $$p$$ 和 $$q$$ 都是一般四元数的时候,$$pq$$ 和 $$qp$$ 就只有纯量部分相等了。

如果把向量认知为「有方向的长度量」,则向量相乘就该是「有方向的面积量」。如此看来,四元数的乘法在向量部分等同于外积,就似乎有其不可避免的内在需要。至于放弃了乘法交换律,也似乎是一种非如此不可的「弃保效应」:弃交换律而保住更基础的结合律(associative law):若 $$p$$、$$q$$、$$r$$ 是四元数,则 $$(pq)r=p(qr)$$。如果结合律不成立,就不能有「连乘」计算,因为 $$(pq)r$$ 和 $$p(qr)$$ 未必相等,所以 $$pqr$$ 没有确切的意义。

事实上,「结合律」这个名词就是在汉弥尔顿讨论四元数的时候首度出现。在四元数之前,数学家并没有讨论过不满足结合律或交换律的运算;也就是从四元数开始,数学的「代数」支系有了全新的视野:人们可以在一个全然人造的符号系统中定义加减乘除,并讨论其运算性质。

后人评判汉弥尔顿是英国仅次于牛顿的伟大数学家;而且,也像牛顿一样,他的物理学家身份可能更胜于数学家。但是,在四元数上,汉弥尔顿是一位道道地地的纯数学家:他最关心的是数学内部的一致性,或者说是数学的「美」。儘管汉弥尔顿的声誉卓着,当时的数学和物理学者并不认同四元数的实用性。真正可以仰仗四元数而发展的物理观念,在汉弥尔顿身故(1865)之后才发生,那就是麦斯威尔(James Maxwell)的电磁理论。

麦斯威尔出版《电与磁之论》后六年就过世了,来不及实现他心目中更「简洁」的数学表达方式。这份着作引领了许多跟随者,包括美国耶鲁大学的吉布斯教授(Willard Gibbs, 1839-1903)。

吉布斯读《电与磁之论》的时候已经是教授而且已经发表了重要的物理论文,但是他读了这本书之后才开始学习四元数,当作研究电磁学的工具。过程中他洞察四元数有「多余的」性质可以略去,只要撷取向量的係数积、内积、外积和一些我们在大一微积分课程中学习的微分与积分的运算,就能描述电磁现象并据以计算和推论。

吉布斯从 1877 年起开授电磁学课程,在课堂上採用他发展的向量方法;后来,他在 1881 年自费印刷了向量讲义,除了课堂使用以外,陆续邮寄了大约 130 份给其他同好。二十年后的 1901 年,总算由他的学生Wilson代笔撰写并正式出版为《向量分析》(Vector Analysis) 教科书。

相对于四元数,向量并不相容于实数,也不能自成一个代数系统。向量内积的结果不再是向量,所以内积不是向量乘法;而外积的结果虽然是向量,却不满足结合律(例如 $$(\vec{i}\times\vec{j})\times\vec{j}=-\vec{i}$$ 但是 $$\vec{i}\times(\vec{j}\times\vec{j})=\vec{0}$$,还会有非零向量之外积是零向量的窘况(任两个平行向量的外积是零向量)。儘管向量的计算规则如此之「丑」,物理学者和其他的科学家终究因为实用性而选择了它,正所谓不美总比不妙好

在十九世纪的最后十年,吉布斯受到英国数学界很不友善的批评,但是毕竟他人在美国,并且有德国人的支持,还不至于投稿无门。进入二十世纪之后,尘埃很快落定,吉布斯从四元数「撷取」出来的空间向量及其演算,成为今天的标準数学内容。

至于汉弥尔顿,他有更好的选择吗?他是不是没有找到最好的空间数形式?有没有更妙的空间数等着我们这些后人发掘呢?简单地说:没有了。霍维茨(Adolf Hurwitz)在1898年证明:在合理的条件下,所有的「数系」只有四种:实数、複数、四元数,和一种相当于由四元数所造成的複数。霍维茨的条件是为了让新数系与实数「相容」而设立的合理要求:

所以,汉弥尔顿毕竟是位大师级的数学家,他之所以没想到更妙的形式,是因为根本不存在更妙的形式。

向前连结:複数的极式、空间向量的内积、空间向量的外积

延伸阅读:

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