空间向量的外积及几何意义

现今高二下有关空间向量的教材提到,若 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 为空间中的两向量,则定义 \(\overrightarrow a\) 与 \(\overrightarrow b\) 两向量之外积

\(\overrightarrow a\times \overrightarrow b=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|)\)。

另一方面,空间中 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 两向量所张成的平行四边形面积为:

\(A = \sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}}\)

眼尖的读者,不难发现  \(\overrightarrow a\times\overrightarrow b\) 之长恰为此平行四边形之面积值,即 \(A = \left| {\overrightarrow a\times\overrightarrow b }\right|\)。

在现今高中课纲之下,若干版本的教科书是先定义向量的外积后,将此关係列为一性质。另有版本的教科书则是据此关係来定义空间中两向量的外积,该教科书中先利用两向量所张成平行四边形的面积公式:

\(A = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} – {{(\overrightarrow a \cdot\overrightarrow b )}^2}}\)

将坐标向量 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 代入后即得:

\(A = \sqrt {({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) – {{({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3})}^2}}\)

整理后可推得 \(A = \sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}}\)。

接着,将向量 \((\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|)\)
定为 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 的外积。

如此可看出,\(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 其外积的长度
为 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 两向量所张成的平行四边形面积。

就此定义或性质来看,两向量外积之长恰等于其所张成的平行四边形面积,这样的关係非常巧妙:

\(\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}}\)

这也不免令人好奇,是巧合吗?亦或者背后有什幺样的关连或几何上的意义呢?以下我们简单说明。

与外积 \(x\) 分量有关的行列式值 \(A_1=|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right||\) 来看,其几何意义如下:

由 \((a_1,a_2)\) 与 \((b_1,b_2)\) 两平面向量所张成之平行四边形面积为 \(A_1\)

若我们将 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 两向量所张成的平行四边形投影到三个坐标平面后会发现,当投影到 \(xy\) 平面时,即为 \(\overrightarrow a_{xy}= ({a_1},{a_2},0)\) 与 \(\overrightarrow b_{xy}= ({b_1},{b_2},0)\) 所张成之平行四边形,若不考虑 \(z\) 分量,则由 \((a_1,a_2)\) 与 \((b_1,b_2)\) 两向量所张成之平行四边形面积为 \(A_1=|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right||\)。同理,投影到 \(yz\) 平面时,所得平行四边形的面积为 \(A_2=|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right||\) ;投影到 \(xz\) 平面时,所得平行四边形的面积为 \(A_3=|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right||\)。

如图一所示,此图为空间中两向量张成之平行四边形(绿色)在 \(xy\) 平面与 \(xz\) 平面上的投影(黄色)示意图。

空间向量的外积及几何意义

图一 空间中两向量张成之平行四边形在 \(xy\) 平面与 \(xz\) 平面上的投影示意图

设向量 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 所在平面 \(E\) 与 \(xy\) 平面之夹角为 \(\alpha\)
(即平面的倾斜角),由于 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\)、\(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 之外积 \((\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|)\) 可作为平面 \(E\) 之法向量,而 \(z\) 轴正向上的单位向量 \((0,0,1)\) 为 \(xy\) 平面之法向量,因此可得:

 \(\left| {\cos \alpha } \right| = \frac{{|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right||}}{{\sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}} }} = \frac{{{A_1}}}{A}\)

同理,设平面 \(E\) 与 \(yz\) 平面之夹角为 \(\beta\),利用 \(\overrightarrow a\times\overrightarrow b\) 与 \(yz\) 平面之法向量 \((1,0,0)\) 可得:

\(|\cos \beta | = \frac{{|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right||}}{{\sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}} }} = \frac{{{A_2}}}{A}\)

最后,设平面 \(E\) 与 \(xz\) 平面之夹角为 \(\gamma\),可得:

 \(|\cos \gamma | = \frac{{|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right||}}{{\sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}} }} = \frac{{{A_3}}}{A}\)

上述关係说明了 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 两向量所张成平行四边形,在 \(xy\) 平面、\(yz\) 平面与 \(xz\) 平面上的投影面积 \(A_1,A_2,A_3\) 与原面积 \(A\) 之间满足:

\(A|\cos\alpha|=A_1,A|\cos\beta|=A_2,A|\cos\gamma|=A_3\)。

另一方面,若空间中任一向量 \(\overrightarrow e=(x,y,z)\) 与三坐标轴方向 \((0,0,1)\)、\((0,1,0)\)、\((1,0,0)\) 之夹角分别为 \(\alpha\)、\(\beta\) 与 \(\gamma\),则其余弦值 \(\cos\alpha\)、\(\cos\beta\) 与 \(\cos\gamma\) 称为该向量之方向余弦,
由于 \(\cos \alpha= \frac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}\)、\(\cos \beta= \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}\)、\(\cos \gamma= \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}\),
易知 \({\cos ^2}\alpha+ {\cos ^2}\beta+ {\cos ^2}\gamma= 1\)。

空间向量的外积及几何意义

图二 空间中向量 \(\overrightarrow e\) 与三坐标轴夹角 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) 之示意图

又上述平面 \(E\) 与三坐标平面夹角的余弦值 \(\cos\alpha\)、\(\cos\beta\) 与 \(\cos\gamma\) 分别为 \(\overrightarrow a\times\overrightarrow b\) 的方向余弦,因此,\({\cos ^2}\alpha+ {\cos ^2}\beta+ {\cos ^2}\gamma= 1\),亦即 \({\left( {\frac{{{A_1}}}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{A_2}}}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{A_3}}}{A}} \right)^2} = 1\),如此可得下式:\(\sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + {A_3}^2}= A\)。

由此关係式即可看出
空间中两向量 \(\overrightarrow a\) 与 \(\overrightarrow b\) 其外积之长 \(\sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}}\)
恰等于 \(\overrightarrow a\) 与 \(\overrightarrow b\) 之外积所张成的平行四边形面积。

换句话说,\(\overrightarrow a\times \overrightarrow b\) 的 \(x\)、\(y\) 与 \)z\) 分量 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|\)、\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|\)、\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|\) 与 \(\overrightarrow a\) 和 \(\overrightarrow b\) 所张成之平行四边形在三坐标平面上的投影面积 \(A_1,A_2,A_3\) 有关。

利用方向余弦可将这三个投影面积 \(A_1,A_2,A_3\) 与 \(\overrightarrow a\) 和 \(\overrightarrow b\) 所张成之平行四边形面积 \(A\) 作连结:

\(\sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + {A_3}^2}= A\)

而此式即说明了下述关係与几何意义:

空间中两非零向量 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 与 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\),
其外积之长 \(\left| {\overrightarrow a\times \overrightarrow b } \right|\) 恰等于\(\overrightarrow a\) 与 \(\overrightarrow b\)两向量所张成的平行四边形面积

\(A = \sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}} \)。

Related Posts